1.5. Nevienādību un nevienādību sistēmu risināšana

a) Lineāru nevienādību risināšana.

Lineāru nevienādību risināšana sastāv no šādiem soļiem:

  • izdarot nevienādību ekvivalentus pārveidojumus, nevienādību pārvērš formā ax < b; (ax > b; axb;  axb)
  • atrisina nevienādību ax < b. Atkarībā no koeficientu a un b vērtībām un zīmēm iespējami šādi
    gadījumi:
ax < b
Nosacījumi Atrisinājums
a > 0
a < 0
b > 0
b < 0


b) Kvadrātnevienādību risināšana.

Risinot kvadrātnevienādības, tiek izmantotas kvadrātfunkcijas y =ax2 + bx + c īpašības. Kvadrātnevienādību risināšana sastāv no šādiem soļiem:

Kvadrātnevienādības risināšana Atrisināt nevienādību
1) Izdarot nevienādību ekvivalentus pārveidojumus, nevienādību pārvērš formā [parādīt risinājumu]
2) Atrisina vienādojumu  , nosakot funkcijas nulles [parādīt risinājumu]
3) Sadala skaitļu asi intervālos, atliekot uz skaitļu ass funkcijas nulles [parādīt risinājumu]
4) Uzskicē funkcijas grafiku, izmantojot informāciju par funkcijas nullēm un zaru vērsumu [parādīt risinājumu]
Apskatāmajai funkcijai y = x2 + 4x -5 zari vērsti uz augšu, jo koeficients pie x2 ir pozitīvs skaitlis 1.
5) Nosaka izteiksmes zīmi katrā intervālā [parādīt risinājumu]

6) Pieraksta atbildi, ņemot vērā nevienādības veidu () [parādīt risinājumu]

Ekvivalentu pārveidojumu rezultātā sākotnējā nevienādība tika pārveidota par nevienādību x2 + 4x -5<0. Tas nozīmē, ka no zīmējuma jānolasa tās x vērtības, ar kurām funkcijas vērtības ir mazākas par 0 (zīmējumā intervāls ar  "-" zīmi).

Atbilde:


c) Nevienādību risināšana ar intervālu metodi.

Ar intervālu metodi var atrisināt nevienādības, kuras var pārveidot formā f(x) > 0 (f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0) , (f(x) ir polinoms vai daļveida racionāla izteiksme). Šī metode pamatojas uz to, ka tiek aprēķinātas visas xvērtības, pie kurām izteiksmes f(x) vērtības var mainīt zīmi. Atrastās x vērtības uz skaitļu ass veido intervālus. Atliek noskaidrot izteiksmes f(x) zīmi katrā intervālā. Risinot nevienādības ar intervālu metodi, var izmantot šādu algoritmu.

Risināšana ar intervālu metodi

1) pārveido nevienādību formā f(x) > 0 (f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0);

2) izteiksmi, kas atrodas kreisajā pusē, sadala lineāros vai kvadrātiskos reizinātājos;

3) iegūtos reizinātājus pielīdzina nullei un atrisina iegūtos vienādojumus; atrastos punktus, kuros izteiksme f(x)  maina zīmi, atliek uz skaitļu ass;

4 a) uztverot katru reizinātāju kā funkciju, uzskicē to grafikus attiecībā pret x asi; saskaitot, cik funkciju

grafiki ir zem x ass, nosaka f(x) zīmi katrā intervālā;

4 b) izvēlas konkrētas vērtības katrā intervālā, ko veido atliktie punkti, un nosaka  f(x) zīmi šajā intervālā;
5) nosaka intervālus, kuros ir spēkā dotā nevienādība.


d) Nevienādību sistēmu risināšana.

Par nevienādību sistēmas atrisinājumu der skaitlis, kuru ievietojot visās sistēmas nevienādībās, iegūst patiesas skaitliskas nevienādības. Atrisināt nevienādību sistēmu nozīmē atrast visas tās mainīgā vērtības, kas der par atrisinājumu katrai sistēmas nevienādībai un pamatot, ka citu vērtību nav. Lai noteiktu nevienādību sistēmas atrisinājumu, var rīkoties šādi:

  • vispirms atrisina katru nevienādību atsevišķi;
  • pēc tam atrod nevienādību atrisinājumu kopu kopīgo daļu (jeb šķēlumu).

Praktiski ir izdevīgi katras nevienādības atrisinājumu attēlot uz vienas (vai katru uz savas) skaitļu ass; sistēmas atrisinājums ir visu atrisinājumu kopīgā daļa (jeb šķēlums)

Nevienādību sistēmu risināšana

Atrisināt sistēmu
1) Atrisina vienu no nevienādību sistēmas nevienādībām [parādīt risinājumu]
2) Atrisina otro nevienādību sistēmas nevienādību [parādīt risinājumu]
3) Atliek abu nevienādību atrisinājumus uz vienas skaitļu ass [parādīt risinājumu]

4) Nosaka sistēmas atrisinājumu kā abu atrisinājumu kopīgo daļu (šķēlumu) [parādīt risinājumu]

Atbilde:


e) Nevienādību ar moduli risināšana.

Risinot nevienādības ar moduli, var izmantot moduļa ģeometrisko interpretāciju.

Modulis ir attālums līdz 0.

Atrisināt nevienādību

Atbilde:

Atrisināt šo nevienādību nozīmē atrast visas tās mainīgā x vērtības, kuru attālums līdz 0 ir mazāks par 5 vienībām. To ilustrē šāds zīmējums.


Atrisināt nevienādību

Atbilde:

Atrisināt šo nevienādību nozīmē atrast visas tās x vērtības, kuru attālums līdz 0 ir lielāks par 3 vienībām. To ilustrē šāds zīmējums.


Atrisināt nevienādību

Atbilde:

Atrisināt šo nevienādību nozīmē atrast visas tās x vērtības, kuru attālums līdz 0 ir mazāks par -4 vienībām. Tā kā modulis (attālums) ir pozitīvs lielums, tas nevar būt mazāks par negatīvu skaitli. Tātad, tādu x vērtību nav.

Risinot nevienādības ar moduli, var izmantot arī šādus ekvivalentus pārveidojumus:

Nevienādība ir ekvivalenta nevienādību sistēmai

Piemērs

Nevienādība ir ekvivalenta nevienādībām

Piemērs