2.2.4. Homotētija

Homotētiju nosaka divi parametri – homotētijas centrs un homotētijas koeficients. Homotētijas centrs ir punkts; homotētijas koeficients ir skaitlis, kas atšķiras no nulles.

Pieņemsim, ka plaknē fiksēts punkts O un izvēlēts no nulles atšķirīgs skaitlis k.

Definīcija

Homotētijā ar centru O un koeficientu k patvaļīgs punkts A attēlojas par tādu punktu A’, ka

Piezīme: vārdu salikuma „homotētija ar centru O un koeficientu k” vietā var lietot īsāku frāzi „homotētija (O;k)”.

Piemēri

1. Ja MN ir ΔABC viduslīnija, tad homotētijā (B;2) M attēlojas par A, bet N – par C. Savukārt homotētijā A attēlojas par M, bet C – par N .

2. Ja ABCD – paralelograms ar diagonāļu krustpunktu O, tad homotētijā (O; -1) A attēlojas par C, C – par A, B – par D, D – par B.

3. Ja ABCD – trapece ar sānu malu pagarinājumu krustpunktu S un diagonāļu krustpunktu O, tad ΔSBC ~ ΔSAD (līdzības pazīme ll); tāpēc šo atbilstošo malu attiecības ir vienādas, t.i., . Varam apzīmēt šo attiecību kopējo vērtību ar k; tad homotētijā (S; k) punkts A attēlojas par B, bet punkts D – par C. Līdzīgi pierāda, ka homotētijā punkts B attēlojas par D, bet C – par A. Pirmajā homotētijā S, bet otrajā O paliek uz vietas.

4. Atceramies, ka trijstūra mediānas krustojas vienā punktā un dalās šajā punktā attiecībā 2 : 1, skaitot no virsotnes. Tāpēc, ja ABC – trijstūris ar mediānu krustpunktu M, bet malu AB, BC, CA viduspunkti ir attiecīgi C1,A1,B1, tad homotētijā (M; -2) punkts A1 attēlojas par A, punkts B1 – par B, punkts C1 – par C.

5. Acīmredzot, homotētija ar koeficientu 1 attēlo katru punktu pašu par sevi (vai, kā vēl pieņemts teikt, atstāj uz vietas), bet homotētija (O; -1) ir tas pats, kas pagrieziens(O; 180°) jeb centrālā simetrija.

Ja dots homotētijas centrs O un koeficients k ( k0) , tad patvaļīga punkta A attēlu homotētijā (O; k) var konstruēt sekojoši:

a) ja A sakrīt ar O, tad A attēls ir tas pats O,
b) ja A nesakrīt ar O, tad

1) novelkam taisni OA;
2) ja k > 0, tad uz stara OA atliekam tādu punktu A’, ka OA’ = · OA ,
3) ja k < 0, tad tādu punktu A’ atliekam uz staram OA pretējā stara.