4. uzdevums

Četrstūra piramīdas MABCD pamats ir rombs ABCD, kura šaurais leņķis . Šķautne MA ir piramīdas augstums un ir divas reizes īsāka nekā romba mala.

Aprēķini:

a) leņķus, kādus ar pamata plakni veido sānu šķautnes,
b) visus divplakņu kakta leņķus pie pamata!

Atrisinājums
 a) Tā kā šķautne MA ir perpendikulāra pamata plaknei, tad jānosaka leņķi, kurus veido šķautnes MB, MD un MC ar pamata plakni. Šķautņu MB un MD projekcijas AD un AB ir vienādas kā romba malas, un tādēļ šo šķautņu veidotie leņķi MBA un MDA ir vienādi.

Tālāk
Taisnleņķa trijstūrī MAD: un , kā arī
Tālāk.
Šķautnes  MC veidoto leņķi var noteikt no :
Tālāk.
Nogriežņa AC garumu var aprēķināt no romba ABCD. Taisnleņķa trijstūra ABO šaurais leņķis, jo romba diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras un ir romba pretējo leņķu bisektrises. Nogrieznis AO = AB · cos0,5α = 2αcos0,5α un
AC = 2 · AO = 4αcos0,5α

Tālāk.
Tādēļ un
Tālāk.


b) Pavisam kopā ir četri divplakņu kakta leņķi – četru sānu skaldņu veidotie leņķi ar piramīdas pamata plakni, divi no tiem ir 90°- skaldnēm, kas satur šķautni MA, jo tās ir perpendikulāras pamatam. Divi citi leņķi savā starpā ir vienādi ar leņķi , jo tie ir simetriski attiecībā pret diagonāli AC .

Tālāk.
Romba leņķis ir šaurs, tāpēc perpendikuls AE atrodas ārpus romba . Pēc triju perpendikulu teorēmas arī un skaldnes MDC un pamata plaknes veidotais leņķis ir .

Tālāk.
Nogriežņa AE garumu aprēķina no paralelograma ABCD. , jo ABDC un no trijstūra ADE un no trijstūra MEA iegūst, ka un .