2. uzdevums
Mākslīgi veidota dīķa virsmas laukums sākumā ir 600 m2 . Katru nedēļu dīķa virsmas laukumu palielina par 150 m2. Dīķī 
m2 ir aizauguši ar aļģēm, kuras savu platību katru nedēļu dubulto. Vai aļģes varēs pārklāt visu dīķi? Pēc cik ilga laika tas notiks?
Atrisinājums
Raksturo abus procesus kā funkcijas.
S(t) - ezera platība;
A(t) - laukums, ko aizņem aļģes;
t - nedēļas kārtas numurs.
Aprēķina šo funkciju vērtības, ja
t = 1;2;3;... un apkopo tās tabulā.
Tālāk
|
t (nedēļas)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
...
|
|
|
|
|
S (t)
|
600
|
750
|
900
|
1050
|
1200
|
|
|
|
|
|
A (t)
|
0,25
|
0,5
|
1
|
2
|
4
|
|
|
|
|
Kā redzams no tabulas, abas funkcijas ir augošas. Vai funkcijas A(t)
vērtības kādreiz pārsniegs funkcijas S(t) vērtības (tad aļģes būs pārklājušas dīķi)? Lai prognozētu procesu tendences, var izmantot funkciju grafikus. Izmantojot tabulā apkopotās vērtības, nosaka funkciju formulas:
Tālāk
S(t) = 600 + 150 t
Funkcija S(t) = 600 + 150 t ir lineāra funkcija, kuras grafiks ir taisne.
Tālāk
A(t)=0,25·2t
Funkcija A(t)=0,25·2t ir augoša eksponentfunkcija
Tālāk
Atliek punktus koordinātu plaknē un uzskicē abu funkciju grafikus.
No grafika redzams, ka funkcijas krustosies. Tātad būs brīdis, sākot ar kuru funkcijas
A (t) vērtības būs lielākas par funkcijas S (t) vērtībām (aļģes būs pārklājušas dīķi).
Tālāk
Nosaka abu grafiku krustpunkta t koordinātu:
t ≈ 13,33
Tālāk
Var izdarīt pārbaudi ar kalkulatora palīdzību, aprēķinot funkciju vērtības 13. un 14. nedēļā
S(13) = 600 + 150 · 13 = 2550 m2
A(13) = 0.25 · 213
= 2048 m2
S(14) = 600+150 · 14 = 2700 m2
A(14) = 0.25 · 214
= 4096 m2
Redzams, ka 13. nedēļas sākumā S (13)> A (13) , bet 14. nedēļas
sākumā S (14)< A (14).
Atbilde:
Jā, aļģes varēs pārklāt visu dīķi, tas notiks starp 13. un 14. nedēļu (apmēram pēc 13,3 nedēļām).