2. uzdevums

Dots, ka ABCD - paralelograms; caur A novilkts stars t, kas krusto nogriezni CD punktā K un BC pagarinājumu – punktā L. Punkti X un Y ir attiecīgi nogriežņu CK un CL viduspunkti. Pierādīt, ka taisne XY krusto nogriezni BD tā viduspunktā (skat. zīm.)

Atrisinājums

Par paralelogramu mēs zinām, ka tā pretējās malas ir vienādas un paralēlas. Diemžēl, vienādās un paralēlās malas BC un AD ir „atrautas” viena no otras – tās atrodas uz dažādām taisnēm, un tām nav kopīgu galapunktu.


Tālāk

Mala AD ir „atrauta” arī no citiem nogriežņiem, par kuriem mums uzdevumā ir kāda informācija – no CX, XK, CY, YL. Mēs esam tādā situācijā kā karavadonis, kura spēki ir izkliedēti.


Tālāk

Koncentrēsim savus spēkus- pārnesīsim nogriezni AD tuvāk pārējiem spēkiem, uz taisni BC. Šai nolūkā mēs varam AD ar paralēlo pārnesi pārnest par nogriezni LT uz taisnes BC. (To var izdarīt, jo BC || AD. Pārnese notiek pa vektoru .)

Tālāk

Redzam, ka XY ir ΔKCL viduslīnija, tātad XY || KL.

Tālāk

Pēc konstrukcijas KL || DT; tātad XY || DT. Punkts Y ir malas BT viduspunkts trijstūrī BTD; tāpēc XY ir šī trijstūra viduslīniju saturošā taisne, tāpēc tā krusto ΔTBD malu BD tās viduspunktā, k.b.j.